0072. 编辑距离
题目描述
给你两个单词 word1 和 word2，请返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数。
你可以对一个单词进行如下三种操作：
- 插入一个字符
- 删除一个字符
- 替换一个字符
示例
示例 1：
输入：word1 = "horse", word2 = "ros"
输出：3
解释：
horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')
rorse -> rose (删除 'r')
rose -> ros (删除 'e')
示例 2：
输入：word1 = "intention", word2 = "execution"
输出：5
解释：
intention -> inention (删除 't')
inention -> enention (将 'i' 替换为 'e')
enention -> exention (将 'n' 替换为 'x')
exention -> exection (将 'n' 替换为 'c')
exection -> execution (插入 'u')
解题思路
第一步：理解问题本质
编辑距离（Edit Distance / Levenshtein Distance）：两个字符串之间，由一个转成另一个所需的最少编辑操作次数。
核心思想：比较两个字符串的每个位置，决定需要哪种操作。
示例推演："horse" -> "ros"
- 对齐两个字符串：
h o r s e
r o s - 发现第1个字符不同，第2个相同，后面也错开了
第二步：递归思路（暴力解法）
定义 dfs(i, j) = word1[0..i] 转换成 word2[0..j] 的最小编辑距离。
递归终止条件：
i < 0：word1已用完，需要插入j+1个字符j < 0：word2已用完，需要删除i+1个字符
递归情况：
- 如果
word1[i] == word2[j]：不用操作，dfs(i, j) = dfs(i-1, j-1) - 否则，取三种操作的最小值：
- 删除：
dfs(i-1, j) + 1（删除word1[i]） - 插入：
dfs(i, j-1) + 1（在word1[i]后插入word2[j]） - 替换：
dfs(i-1, j-1) + 1（将word1[i]替换为word2[j]）
- 删除：
问题：有大量重复计算，时间复杂度 O(3ⁿ)。
第三步：记忆化搜索
用 @cache 装饰器缓存递归结果，避免重复计算。
# 同一组 (i, j) 会从多条路径到达，缓存后每个状态只算一次
@cache
def dfs(i: int, j: int) -> int:
# word1 用完，只能把 word2 剩下的 j+1 个字符全插进去
if i < 0: return j + 1
# word2 用完，只能把 word1 剩下的 i+1 个字符全删掉
if j < 0: return i + 1
# 末尾字符相同，这一步不花代价，直接对齐到前一位
if s[i] == t[j]:
return dfs(i - 1, j - 1)
# 删除 s[i]、插入 t[j]、把 s[i] 换成 t[j]，三选一后代价加 1
return min(dfs(i - 1, j), dfs(i, j - 1), dfs(i - 1, j - 1)) + 1
第四步：动态规划
将递归改为递推，定义 dp[i][j]：
word1的前i个字符（word1[0..i-1]）- 转换成
word2的前j个字符（word2[0..j-1]） - 所需的最小编辑距离
为什么下标要+1？
预留 dp[0][j] 和 dp[i][0] 处理空字符串：
dp[0][j] = j：空串变成j个字符，需要插入j次dp[i][0] = i：i个字符变成空串，需要删除i次
第五步：空间优化
观察：dp[i][j] 只依赖于上一行和当前行的左边。
dp[i-1][j]：上一行dp[i][j-1]：当前行左边dp[i-1][j-1]：上一行左边（对角线）
滚动数组：只需保存两行，空间复杂度 O(m)。
一维数组：用一个数组 + 一个变量保存对角线，空间复杂度 O(m)。
完整代码实现
算法可视化 · 逐帧回放这道题的代码142 帧 · 录制输入 "horse", "ros"
from functools import cache
class Solution:
def minDistance(self, word1: str, word2: str) -> int:
"""
编辑距离 - 动态规划（二维数组版）
dp[i][j] = word1[:i] 转换成 word2[:j] 的最小编辑距离
"""
n, m = len(word1), len(word2)
# dp[i][j] 表示 word1[:i] 转换为 word2[:j] 的最小编辑距离
dp = [[0] * (m + 1) for _ in range(n + 1)]
# 初始化边界
dp[0] = list(range(m + 1)) # dp[0][j] = j
for i in range(1, n + 1):
dp[i][0] = i # dp[i][0] = i
# 填充DP表
for i in range(1, n + 1):
for j in range(1, m + 1):
if word1[i - 1] == word2[j - 1]:
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] # 字符相同，不用操作
else:
dp[i][j] = min(
dp[i - 1][j], # 删除
dp[i][j - 1], # 插入
dp[i - 1][j - 1] # 替换
) + 1
return dp[n][m]
def minDistanceOneArray(self, word1: str, word2: str) -> int:
"""
编辑距离 - 空间优化（一维数组版）
"""
m = len(word2)
f = list(range(m + 1))
for x in word1:
pre = f[0] # 保存对角线值
f[0] += 1
for j, y in enumerate(word2):
tmp = f[j + 1]
f[j + 1] = pre if x == y else min(f[j + 1], f[j], pre) + 1
pre = tmp
return f[m]
示例推演
示例：word1 = "horse", word2 = "ros"
DP表（部分）：
| r | o | s | ||
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 2 | 3 | |
| h | 1 | 1 | 2 | 3 |
| o | 2 | 2 | 1 | 2 |
| r | 3 | 2 | 2 | 2 |
| s | 4 | 3 | 3 | 2 |
| e | 5 | 4 | 4 | 3 |
关键计算：
dp[1][1]：h vs r，不同 → min(1,1,0)+1 = 1（替换）dp[2][2]：o vs o，相同 →dp[1][1]= 1dp[5][3]：e vs s，不同 → min(3,4,2)+1 = 3
结果：dp[5][3] = 3
复杂度分析
| 解法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 说明 |
|---|---|---|---|
| 暴力递归 | O(3ⁿ) | O(n+m) | 有大量重复计算 |
| 记忆化搜索 | O(n×m) | O(n×m) | 递归栈空间 |
| 二维DP | O(n×m) | O(n×m) | 标准解法 |
| 滚动数组 | O(n×m) | O(m) | 空间优化 |
| 一维数组 | O(n×m) | O(m) | 最优空间 |
易错点总结
1. 下标对应关系
# dp 多留了一行一列表示空串，所以长度 i 对应最后一个字符 word1[i-1]
# dp[i][j] 对应 word1[i-1] 和 word2[j-1]
if word1[i - 1] == word2[j - 1]:
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
注意 dp 数组和字符串下标的偏移。
2. 边界初始化
dp[0] = list(range(m + 1)) # dp[0][j] = j
for i in range(1, n + 1):
dp[i][0] = i # dp[i][0] = i
不要漏了 dp[i][0] 的初始化。
3. 空间优化的对角线保存
pre = f[0] # 先保存对角线：上一行 f[0]，即 dp[i-1][0]
f[0] += 1 # 再更新本行 f[0]（第一列只能删，长度即 i）
for j, y in enumerate(word2):
tmp = f[j + 1] # 保存当前值，它就是下一格要用的对角线
# 计算 f[j+1]
pre = tmp # 更新对角线供下一轮使用
4. 三种操作的理解
| 操作 | dp转移 | 实际含义 |
|---|---|---|
| 删除 | dp[i-1][j] | 删除word1[i-1] |
| 插入 | dp[i][j-1] | 在word1[i-1]后插入word2[j-1] |
| 替换 | dp[i-1][j-1] | 将word1[i-1]替换为word2[j-1] |
扩展思考
1. 如果操作代价不同？
例如：插入删除代价为1，替换代价为2。
dp[i][j] = min(
dp[i-1][j] + 1, # 删除
dp[i][j-1] + 1, # 插入
dp[i-1][j-1] + 2 # 替换代价为2
)
2. 如何输出具体的编辑操作？
需要在DP过程中记录"来源"，回溯得到操作序列。
3. 最长公共子序列（LCS）与编辑距离的关系
编辑距离 = len(word1) + len(word2) - 2 × LCS长度
当只允许插入和删除时成立。
应用场景
- 拼写检查：计算用户输入与词典单词的编辑距离
- DNA序列比对：生物信息学中计算基因相似度
- 版本控制：diff 算法计算文件差异
- 语音识别：评价识别结果与标准文本的差异