0169. 多数元素
题目描述
给定一个大小为 n 的数组 nums，返回其中的多数元素。多数元素是指在数组中出现次数 大于 ⌊ n/2 ⌋ 的元素。
你可以假设数组是非空的，并且给定的数组总是存在多数元素。
示例
示例 1：
输入：nums = [3,2,3]
输出：3
示例 2：
输入：nums = [2,2,1,1,1,2,2]
输出：2
解题思路
第一步：理解问题
要找出出现次数超过一半的元素。这意味着：如果把这个元素的所有出现和其他元素两两配对抵消，它最后一定会剩下。
第二步：暴力解法
用哈希表统计每个数字出现次数：
from collections import Counter
# 一次遍历把「元素 -> 出现次数」记进哈希表，再挑出次数超过一半的那个
def majorityElement(nums):
cnt = Counter(nums)
# Counter 已经帮我们合并了相同元素，这里只需逐个检查不同的值
for k, v in cnt.items():
# 必须严格大于 ⌊n/2⌋ 才算多数元素
if v > len(nums) // 2:
return k
- 时间复杂度：
O(n) - 空间复杂度：
O(n)
第三步：排序解法
排序后，中间位置 n // 2 的元素一定是多数元素：
# 排序会让相同的元素挤在一起，多数元素必然覆盖数组的中位位置
def majorityElement(nums):
# 原地升序排序，不额外申请数组
nums.sort()
# 出现次数超过一半，无论它从哪一侧开始，下标 n//2 一定落在它内部
return nums[len(nums) // 2]
- 时间复杂度：
O(n log n) - 空间复杂度：
O(1)或O(log n)
第四步：最优解法 - Boyer-Moore 投票算法
核心理念：把不同的两两抵消，最后剩下的就是多数元素。
算法步骤：
- 维护候选者
candidate和计数器count - 遍历数组：
count == 0时，当前元素成为新的candidate- 当前元素 ==
candidate时，count += 1 - 否则
count -= 1
- 最后
candidate就是答案
为什么正确？因为多数元素出现次数 > n/2，即使和其他所有元素抵消，它仍会幸存。
- 时间复杂度：
O(n) - 空间复杂度：
O(1)
完整代码实现
算法可视化 · 逐帧回放这道题的代码5 帧 · 录制输入 [3,2,3]
from typing import List
class Solution:
"""
169. 多数元素 - Boyer-Moore 投票算法
核心思想：
把不同的元素两两抵消，最后剩下的就是出现次数超过一半的多数元素。
时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)
"""
def majorityElement(self, nums: List[int]) -> int:
candidate = nums[0]
count = 0
for num in nums:
if count == 0:
candidate = num
if num == candidate:
count += 1
else:
count -= 1
return candidate
示例推演
以 nums = [2, 2, 1, 1, 1, 2, 2] 为例：
| 元素 | count 前 | candidate | count 后 |
|---|---|---|---|
| 2 | 0 | 2 | 1 |
| 2 | 1 | 2 | 2 |
| 1 | 2 | 2 | 1 |
| 1 | 1 | 2 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 1 | 0 |
| 2 | 0 | 2 | 1 |
最终 candidate = 2。
从抵消的角度理解：
- 2, 2, 1, 1 互相抵消
- 剩余 1, 2, 2
- 1 和一个 2 抵消
- 剩余 2
复杂度分析
| 解法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 说明 |
|---|---|---|---|
| 哈希表 | O(n) | O(n) | 直观但空间占用大 |
| 排序 | O(n log n) | O(1) | 不满足时间最优 |
| 投票算法 | O(n) | O(1) | 最优解 |
易错点总结
1. count == 0 时才换 candidate
即使当前 num 不等于 candidate，只要 count > 0，只能说明这个 candidate 的优势被削弱了，还不能确定它不是多数元素。
2. 初始 candidate
可以设为 nums[0]，也可以随便设一个值，效果一样，因为 count = 0 会立即被第一个元素覆盖。
3. 题目保证有解
如果题目不保证有解，投票算法结束后还需要再遍历一遍验证 candidate 的出现次数是否 > n/2。
扩展思考
如果要求找出所有出现次数 > n/3 的元素？
这是 229. 多数元素 II，需要维护两个候选者。
投票算法的本质
这是一种消去法。只要某个元素的出现次数严格超过一半，它就是不可被完全抵消的。