1. 两数之和
题目描述
给定一个整数数组 nums 和一个整数目标值 target，请你在该数组中找出和为目标值 target 的那两个整数，并返回它们的数组下标。
你可以假设每种输入只会对应一个答案。但是，数组中同一个元素在答案里不能重复出现。
你可以按任意顺序返回答案。
示例
示例 1：
输入：nums = [2,7,11,15], target = 9
输出：[0,1]
解释：因为 nums[0] + nums[1] == 9，返回 [0, 1]
示例 2：
输入：nums = [3,2,4], target = 6
输出：[1,2]
示例 3：
输入：nums = [3,3], target = 6
输出：[0,1]
解题思路
第一步：理解问题本质
我们需要在数组中找到两个数，使它们的和等于目标值。核心问题是：如何快速判断一个数的"补数"是否存在？
所谓"补数"，就是 target - num，即与当前数相加等于目标值的另一个数。
第二步：暴力解法
思路：枚举数组中的每一对数字，检查它们的和是否等于目标值。
class Solution:
def twoSum(self, nums: List[int], target: int) -> List[int]:
n = len(nums)
# 枚举第一个数的下标 i
for i in range(n):
# 第二个数只在 i 之后取，避免同一对数字被正反各算一次，也自然满足「元素不能重复使用」
for j in range(i + 1, n):
# 和为目标值即为答案，题目保证有且仅有一组解，可以直接返回
if nums[i] + nums[j] == target:
return [i, j]
# 走到这里说明没有解；题目保证有解，返回值只为让函数在所有分支上都有返回
return []
为什么不够好：
- 时间复杂度是 O(n²)，当数组很大时效率很低
- 没有利用任何数据结构来加速查找
第三步：优化解法 —— 排序+双指针
思路：先排序，然后用双指针从两端向中间移动。
class Solution:
def twoSum(self, nums: List[int], target: int) -> List[int]:
# 记录原始索引：排序会打乱位置，而题目要返回的是原数组的下标，所以把「值 + 原下标」一起存
indexed_nums = [(num, i) for i, num in enumerate(nums)]
# 按数值排序，让双指针的「左小右大」成立
indexed_nums.sort(key=lambda x: x[0])
# 从两端开始：宽度最大的一对先试起
left, right = 0, len(indexed_nums) - 1
# 每轮至少移动一根指针，相遇即说明所有候选都已验证完毕
while left < right:
current_sum = indexed_nums[left][0] + indexed_nums[right][0]
if current_sum == target:
# 命中，返回两个数的原始下标
return [indexed_nums[left][1], indexed_nums[right][1]]
elif current_sum < target:
# 和偏小：右端已是最大值仍不够，只能把左端换大一点
left += 1
else:
# 和偏大：同理只能把右端换小一点
right -= 1
# 无解时返回空列表，保持返回值类型一致
return []
优点：时间复杂度降为 O(n log n) 缺点：需要排序，改变了原始索引，需要额外空间保存索引
第四步：最优解法 —— 哈希表
核心洞察：
- 当我们遍历到数字
num时，只需要知道target - num是否在数组中 - 哈希表的查找时间复杂度是 O(1)
- 边遍历边存储，可以实现一次遍历完成
算法步骤：
- 创建一个空哈希表，用于存储
{数值: 索引} - 遍历数组，对于每个元素
num：- 计算补数
complement = target - num - 如果补数在哈希表中，返回
[哈希表[补数], 当前索引] - 否则，将
{num: 当前索引}存入哈希表
- 计算补数
为什么正确：
- 当我们遍历到位置
i时，哈希表中存储的是0到i-1的所有元素 - 如果
target - nums[i]在哈希表中，说明之前存在某个位置j，使得nums[i] + nums[j] = target - 由于题目保证有唯一解，且我们按顺序遍历，第一次找到的就是答案
完整代码实现
算法可视化 · 逐帧回放这道题的代码14 帧 · 录制输入 [3,2,4], 6
from typing import List
class Solution:
"""
两数之和 - 哈希表解法
核心思路：
- 遍历数组时，使用哈希表记录每个数值对应的索引
- 对于当前元素num，检查(target - num)是否在哈希表中
- 如果在，说明找到了答案；如果不在，将当前元素存入哈希表
为什么用哈希表：
- 哈希表的查找时间复杂度是O(1)
- 将整体时间复杂度从O(n²)降低到O(n)
时间复杂度：O(n) - 只需遍历数组一次
空间复杂度：O(n) - 哈希表最多存储n个元素
"""
def twoSum(self, nums: List[int], target: int) -> List[int]:
# 哈希表：存储数值到索引的映射
hashtable = dict()
for i, num in enumerate(nums):
# 计算需要找到的补数
complement = target - num
# 如果补数已在哈希表中，返回两个索引
if complement in hashtable:
return [hashtable[complement], i]
# 将当前数值和索引存入哈希表
hashtable[num] = i
return [] # 题目保证有解，这里为了语法完整
# 测试代码
if __name__ == "__main__":
sol = Solution()
tests = [
([2, 7, 11, 15], 9, [0, 1]),
([3, 2, 4], 6, [1, 2]),
([3, 3], 6, [0, 1]),
]
for nums, target, expected in tests:
result = sol.twoSum(nums, target)
print(f"nums={nums}, target={target} -> {result}, expected={expected}")
示例推演
以 nums = [2, 7, 11, 15], target = 9 为例：
| 步骤 | i | num | complement | 哈希表状态 | 操作 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 2 | 7 | {} | 7不在表中，存入{2:0} |
| 2 | 1 | 7 | 2 | {2:0} | 2在表中！返回[0,1] |
成功找到答案 [0, 1]，因为 nums[0] + nums[1] = 2 + 7 = 9。
再以 nums = [3, 2, 4], target = 6 为例：
| 步骤 | i | num | complement | 哈希表状态 | 操作 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 3 | 3 | {} | 3不在表中，存入{3:0} |
| 2 | 1 | 2 | 4 | {3:0} | 4不在表中，存入{3:0, 2:1} |
| 3 | 2 | 4 | 2 | {3:0, 2:1} | 2在表中！返回[1,2] |
成功找到答案 [1, 2]，因为 nums[1] + nums[2] = 2 + 4 = 6。
复杂度分析
| 解法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 说明 |
|---|---|---|---|
| 暴力 | O(n²) | O(1) | 双重循环枚举所有组合 |
| 排序+双指针 | O(n log n) | O(n) | 需要排序和保存索引 |
| 哈希表（最优） | O(n) | O(n) | 一次遍历完成 |
易错点总结
1. 先查表再存数
错误写法：先存入当前数，再查表
# 错误！存入和查询的顺序反了
hashtable[num] = i # 先把自己存进表
# 再查补数：若 2 * num == target，查到的正是刚刚存下的自己，同一个元素被用了两次
if target - num in hashtable:
...
正确写法：先查表，再存数
# 正确！查的是「之前出现过」的数，天然满足 i != j
if target - num in hashtable: # 先查：表中只有 i 之前的元素
...
# 查完再存自己，当前元素留给后面的元素去配对
hashtable[num] = i # 再存
原因：如果先存，可能会把同一个元素当成答案（例如 target = 6, num = 3，先存后查会找到刚存入的自己）。
2. 返回的是索引，不是数值
注意题目要求返回的是数组下标，不是数值本身。
3. 答案顺序
题目说可以按任意顺序返回答案，所以 [0,1] 和 [1,0] 都是正确的。
扩展思考
1. 如果数组是有序的？
如果数组已经有序，可以使用双指针法：
- 左指针指向开头，右指针指向结尾
- 和小于 target，左指针右移
- 和大于 target，右指针左移
- 时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(1)
2. 如果要求返回所有可能的组合？
如果存在多组解，需要修改代码收集所有结果，而不是找到一组就返回。
3. 如果数组中有重复元素？
哈希表解法天然支持重复元素，因为存储的是 {值: 索引}，即使值相同，索引也不同。
4. 三数之和
类似的问题 15. 三数之和，需要在两数之和的基础上再加一层循环，或使用双指针技巧。