0121. 买卖股票的最佳时机
题目描述
给定一个数组 prices，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。
你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。
返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0。
示例
示例 1：
输入：[7,1,5,3,6,4]
输出：5
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5
示例 2：
输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 没有交易完成，所以最大利润为 0
解题思路
第一步：理解问题本质
目标是在最低点买入，最高点卖出（且卖出必须在买入之后）。
对于第 i 天，如果我在这一天卖出，那么最优的买入日一定是 [0, i-1] 中价格最低的那一天。
第二步：暴力解法
枚举所有「买入日 + 卖出日」的组合：
def maxProfit(prices):
n = len(prices)
ans = 0
for i in range(n):
for j in range(i + 1, n):
ans = max(ans, prices[j] - prices[i])
return ans
- 时间复杂度：
O(n²) - 空间复杂度：
O(1)
第三步：优化解法
既然对于每一天 i，我们只需要知道 [0, i-1] 的最小值，那可以一边遍历一边维护这个最小值。
def maxProfit(prices):
n = len(prices)
if n <= 1:
return 0
ans = 0
pre_min = prices[0]
for i in range(1, n):
ans = max(ans, prices[i] - pre_min)
pre_min = min(pre_min, prices[i])
return ans
第四步：最优解法
上面的贪心解法已经是 optimal 了，时间复杂度 O(n)，空间复杂度 O(1)。
也可以理解为动态规划：
dp[i]表示前i天的最大利润dp[i] = max(dp[i-1], prices[i] - pre_min)
但本质上和贪心是一样的。
完整代码实现
from typing import List
class Solution:
"""
121. 买卖股票的最佳时机 - 贪心/动态规划
核心思想：
遍历数组时，维护一个 "历史最低价格"，并计算 "今天卖出" 能获利的最大值。
时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)
"""
def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
n = len(prices)
if n <= 1:
return 0
ans = 0
pre_min = prices[0]
for i in range(n):
if prices[i] > pre_min:
ans = max(ans, prices[i] - pre_min)
else:
pre_min = min(pre_min, prices[i])
return ans
示例推演
以 prices = [7, 1, 5, 3, 6, 4] 为例：
| 天数 | 价格 | pre_min | 当天利润 | ans |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 7 | 7 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 2 | 5 | 1 | 4 | 4 |
| 3 | 3 | 1 | 2 | 4 |
| 4 | 6 | 1 | 5 | 5 |
| 5 | 4 | 1 | 3 | 5 |
最终答案：5（第 1 天买入价格 1，第 4 天卖出价格 6）
复杂度分析
| 解法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 说明 |
|---|---|---|---|
| 暴力 | O(n²) | O(1) | 枚举所有买卖组合 |
| 贪心 | O(n) | O(1) | 最优解 |
易错点总结
1. 利润不能为负
如果没有利润，必须返回 0（不能亏钱买入）。
2. 遍历顺序
pre_min 的更新必须在利润计算之后（或同时），否则会用当天的价格作为买入价，导致同一天买卖。
3. 特殊情况
n <= 1 时直接返回 0。
扩展思考
如果允许多次交易呢？
就是 122. 买卖股票的最佳时机 II，贪心策略是「所有上涨波段都交易」。
如果最多交易 k 次呢？
需要用到动态规划，状态为 dp[i][k][0/1]。