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48. 旋转图像

题目描述​

给定一个 n × n 的二维矩阵 matrix 表示一个图像。请你将图像顺时针旋转 90 度。

你必须在原地旋转图像，这意味着你需要直接修改输入的二维矩阵。请不要使用另一个矩阵来旋转图像。

示例​

示例 1：

输入：matrix = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]
输出：[[7,4,1],[8,5,2],[9,6,3]]

示例 2：

输入：matrix = [[5,1,9,11],[2,4,8,10],[13,3,6,7],[15,14,12,16]]
输出：[[15,13,2,5],[14,3,4,1],[12,6,8,9],[16,7,10,11]]

解题思路​

第一步：理解问题本质​

顺时针旋转 90 度的坐标变换：

  • 原位置 (i, j) → 新位置 (j, n-1-i)

观察这个变换，可以发现它可以通过两个基本操作的组合实现：

  1. 转置：(i, j) → (j, i)
  2. 行翻转：(j, i) → (j, n-1-i)

第二步：原地旋转法​

思路：一圈一圈地旋转，从外到内。

class Solution:
    def rotate(self, matrix: List[List[int]]) -> None:
        n = len(matrix)
        top, bottom, left, right = 0, n - 1, 0, n - 1

        while top < bottom and left < right:
            for i in range(right - left):
                # 保存上边元素
                tmp = matrix[top][left + i]
                # 左边 -> 上边
                matrix[top][left + i] = matrix[bottom - i][left]
                # 下边 -> 左边
                matrix[bottom - i][left] = matrix[bottom][right - i]
                # 右边 -> 下边
                matrix[bottom][right - i] = matrix[top + i][right]
                # 上边 -> 右边
                matrix[top + i][right] = tmp

            top += 1
            bottom -= 1
            left += 1
            right -= 1

优点：原地修改，空间复杂度 O(1) 缺点：代码较复杂，容易出错

第三步：最优解法 —— 转置 + 行翻转​

核心洞察：

  • 转置：行列互换
  • 行翻转：每行逆序
  • 这两个操作的组合等价于顺时针旋转 90 度

算法步骤：

  1. 转置矩阵：matrix[i][j] 和 matrix[j][i] 交换
  2. 每行翻转：反转每一行

为什么正确：

原始：          转置后：        行翻转后（结果）：
1 2 3           1 4 7           7 4 1
4 5 6     ->    2 5 8     ->    8 5 2
7 8 9           3 6 9           9 6 3

完整代码实现​

from typing import List

class Solution:
    """
    旋转图像 - 转置 + 行翻转

    核心思想：
    顺时针旋转 90 度 = 转置 + 行翻转

    坐标变换：
    (i, j) → (j, i) 【转置】→ (j, n-1-i) 【行翻转】

    算法步骤：
    1. 转置矩阵：遍历对角线上方元素，与对称位置交换
    2. 行翻转：反转每一行

    时间复杂度：O(n²)，需要访问每个元素两次
    空间复杂度：O(1)，原地修改
    """

    def rotate(self, matrix: List[List[int]]) -> None:
        n = len(matrix)

        # 第一步：转置矩阵
        for i in range(n):
            for j in range(i + 1, n):
                matrix[i][j], matrix[j][i] = matrix[j][i], matrix[i][j]

        # 第二步：每行翻转
        for i in range(n):
            matrix[i].reverse()

示例推演​

以 matrix = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]] 为例：

初始状态：

1 2 3
4 5 6
7 8 9

第一步：转置

1 4 7
2 5 8
3 6 9

第二步：行翻转

7 4 1
8 5 2
9 6 3

结果：顺时针旋转 90 度成功

复杂度分析​

解法时间复杂度空间复杂度说明
原地旋转O(n²)O(1)代码复杂
转置+翻转（最优）O(n²)O(1)代码简洁

易错点总结​

1. 转置时的遍历范围​

for j in range(i + 1, n):  # 正确，只遍历对角线上方
for j in range(n):         # 错误，会交换两次，相当于没交换

2. 逆时针旋转 90 度？​

转置 + 列翻转（或行翻转 + 转置）

3. 旋转 180 度？​

行翻转 + 列翻转（或转置两次）

扩展思考​

1. 如果要求逆时针旋转 90 度？​

# 方法1：转置 + 列翻转
for j in range(n // 2):
    for i in range(n):
        matrix[i][j], matrix[i][n-1-j] = matrix[i][n-1-j], matrix[i][j]

# 方法2：行翻转 + 转置

2. 顺时针旋转 90 度的坐标变换公式？​

new_i = j
new_j = n - 1 - i

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